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代 数 数 论 介 绍】


张贤科, 清华大学  数学科学系

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      代数数论 (algebraic number theory), 数论的主要现代分支. 本来的意义是“代数数的理论”, 是作为“有理数的理论”的古典数论的自然的发展,后来研究范围大为扩展, 成为现代数学最主要的学科之一. , 都是代数数. 一般地说,代数数就是满足代数方程(即有理系数多项式方程)的复数(不一定能用根式表示出来). 如果一个代数数满足的多项式方程是首一的(即最高次项系数为1),系数是整数,则称代数整数,简称为整数. 而普通整数(即正负自然数和零)有时称为有理整数, 以作区别. 非代数数称为超越数. 代数数论的最基本研究对象是代数数域, 简称为数域, 就是有理数域的有限次扩张. 代数数论中的最基本事实是: 一个代数数域K中的代数整数全体(称为K的整数环)是一个戴德金整环Dedekind Domain),即的每个理想可以唯一表示为素理想的乘积(由此可知的理想全体是素理想生成的乘法半群,其分式理想全体是一个乘法群,称为K的理想群).正是这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“复数一般不能唯一素因子分解”的不足(例如),在历史上使代数数论发展起来.

      一般认为代数数论起始于高斯,他研究了二次型(相当于二次域)和分圆域. 代数数论的系统理论创始于德国数学家库默尔(E. E. Kummer, 费马大定理有很深的关系. 法国业余数学家费马约于1637年在古希腊丢番图所著《算术》页边写下猜想,意思是:是不可能的(这里均为非零有理整数), 此猜想被称为费马大定理. 直到1839, 200年间基本只证明了=3, 4, 5, 7四种特别情形:=4的情形由费马本人给出(1940左右,易知这之后只需对为素数情形证明);=3情形由欧拉基本证出(1753);=5情形由杰蔓茵(S. Germain, 狄利克雷(Dirichlet)和勒让德证明(1825)=7情形由拉梅(G. lame)证明(1839). 1847年春, 拉梅在巴黎科学院会议上宣布完全证明了费马大定理,方法是将 (记为奇素数)分解为

其中次本原单位根,然后由因子分解唯一性导出右方各因子互素,再导出矛盾. 刘维尔当即指出其中涉及的“复数唯一因子分解”性质可能是不对的,从而引起了激烈持续的争论. 直到524日,刘维尔宣读库默尔来信,信中说:他三年前已证明了复数唯一分解律是不成立的;不过这可用他发明的“理想数”来挽救,分圆域的理想数满足唯一分解律;用理想数方法可以证明费马大定理对100以内的成立(除=37, 59, 67之外). 库默尔的理想数后来称为理想,是代数数论的最基本概念. 库默尔对分圆域进行了非常深入的研究.他还对高次互反律非常有兴趣并得出一组补律公式.

后来德国数学家戴德金将库默尔的理想数和分圆域等理论系统发展到一般数域,建立了代数数论的基本理论(也开辟了现代代数的发展道路). 这包括理想的分解理论,特别是一个数域K(的整数环)的素理想K的扩域L (的整数环中生成的理想)分解为素理想之积的研究:=, 称为分歧指数. 若某分歧指数大于1则称L分歧. 数域K的理想类群和理想类数也是代数数论重要研究对象.(理想)类群定义为K的(分式)理想群对主理想群的商群,K的全部主理想(主理想即是由一个元素生成的理想),(理想)类数 的元素个数,是有限正整数. =1, K的理想都是主理想,从而理想的分解导致数的分解,此时K中的数满足唯一析因律. , K不满足唯一析因律. 因此类数的研究很重要. 次分圆域Q() 的类数为1,或不是的倍数, 则费马大定理对成立. 类数K的单位关系密切. K中的整数,1/也是K中的整数,则称 K单位(这相当于满足一个有理整数系数的多项式方程,其最高项和常数项系数均为1. K的单位全体U(K)是一个乘法群,称为K单位群,是一个有限生成的阿贝尔群,扭部分是K中单位根全体所成群,自由部分的秩为,其中K到复数域的实和虚嵌入个数. 戴德金的理论作为德国狄利克雷所著《数论讲义》的九个附录一起发表(1894), 从而使这本书成为现代数论的第一本书,包含了现在数论标准基础教程的大部分内容. 狄利克雷在此书中给出著名的算术级数中素数和类数的定理,基于欧拉等式开创了数论的解析方法,后来在代数数论中解析方法起到重要作用. 古典的有理数域Q上的黎曼??函数和狄利克雷L-函数被用多种方法推广到一般代数数域,古典的黎曼猜想也有多种推广. 这些构成了代数数论的一部分重要内容. 解析方法在研究数域的类数等问题中也有重要应用(例如给出类数的解析公式). 与下述数理论相结合,还发展出强有力的解析理论.

德国数学家亨泽尔(Kurt Hensel)约在1899年发现了数,并用于二次型理论. 由此导致赋值论局部域理论的发展. 任意固定一个素数,我们可以“赋予每个有理数一个值”:(其中),这称为有理数的赋值. 可以按此赋值将有理数域Q完备化为(由所有按赋值的柯西序列(即)组成,正象实数域R由所有按经典绝对值的柯西序列(相当于无限小数)组成一样). R称为局部域,Q称为整体域. 亨泽尔的学生哈塞(H. Hasse)发展了数理论,二人确立了关于二次型的著名“局部—整体”原理:二次型Q在整体域Q中有根当且仅当在每个局部域R均有根. 虽然对于二次型以外的数学对象,哈塞原理不一定成立,但在局部域上的研究通常都会提供有用的信息用于整体域上的研究. 上述有理数域Q赋值和完备化理论,可以推广到一般数域上. 由此,赋值论和局部域后来成为代数数论的基本语言和方法,并导致伊代尔(Idele)和阿代尔(Adele)这两个重要概念的引入.

亨泽尔与兰茨贝格(G. Landsberg)所著《代数函数论》(1902)开创了代数函数理论的算术方向. 单变量代数函数域的研究相当于(光滑)代数曲线的研究. 以赋值论和完备化为语言,(有限域上)单变量代数函数域与代数数域有相似或平行的理论发展,二者的理论相互对照、推动. 函数域上的黎曼猜想和韦伊(A. Weil) 猜想已由韦伊(1948)和德利涅(P. Deligne, 1973)解决.

上世纪末, 德国希尔伯特(D. Hilbert)在编写《数论报告》后,洞察到数域的类群与其阿贝尔扩张间的关系,猜想到著名的“希尔伯特类域论”(1898),这是二次和高次互反律的自然推广. 希尔伯特猜想,对任一数域, 存在的阿贝尔扩张(称为的希尔伯特类域)使得:(1) 伽罗瓦群的理想类群同构; (2) 不分歧(对任意素理想)(3)使为主理想的最小的剩余类次数(的素理想);(4) 的理想到后均为主理想. 希尔伯特对类数=2的情形给出了证明. 他的学生富特文格勒(P. H. Furtwangler)到1907年证明了前三条, 1930年证明了(4). 1908年,韦伯(H. Weber)引入了广义理想类群,作了类似于希尔伯特的猜想,称为(一般的)类域论. 1920, 高木贞治(T. Takagi)证明了一般类域的存在,但广义理想类群与伽罗瓦群的同构是由计算群的阶得到,此二群的同构对应还不清楚. 1927, 阿廷(E. Artin)证明了此二群的同构对应由弗罗贝尼乌斯(F. Frobenius)映射给出,从而完成了类域论. 关于类域的具体构作,目前仅对为虚二次域(及其推广CM-域)有系统的办法,主要用到椭圆曲线的理论.

目前,代数数论发展迅速,研究范围和手段已大为扩展,与代数,函数论,代数几何等有很多交融. 例如费马大定理在1994年的最终被证明,就用到了椭圆曲线,模形式等理论.        

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