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Introduction to Algebra, Number Theory, Fermat's Last Theorem, etc
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V.【数学诗话】 |
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张贤科， 清华大学 数学科学系(作于1982) |
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☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 世界科技研究与发展, ISSN 1006-6055 第20卷第1期, 1998年2月, p93 近冰梅—类域论 类域论(Class Field
Theory)是数学诸理论中,体系最完美的一种.—《数学百科全书》如是说. 她是现代数论的一门极重要理论, 现在已渗透应用到各分枝, 几乎无处不涉及. 此理论由希尔波特(Hilbert)在1900年左右猜测出, 主要由福特汪格勒(Furtwangler), 高木贞治(Takdgi), 阿廷(Artin)至1927年给出证明.但象“类域构作”这样的世纪性大问题,研究还远无尽头,是现代最激烈前沿之一.类域论理论系统深邃,定理异常丰富,初学者短期内不易掌握.我们尝试以诗歌概括其主要定理体系,这样便于学者掌握运用此理论,充分欣赏此理论. 数域
k 的阿贝尔扩域集{K}是一个格, 它象是枝干交错的一株梅树. k 的伊代尔(或理想)类群 J 的闭子群格{H}是此树的倒影, 二者反向1:1对应,
这倒影对应就是阿廷互反律映射, 它将伊代尔或理想映为伽罗华群中元(Frobenius).—此即类域论基本定理. 由此以诗表类域论如下. 《近冰梅—类域论》 1980年7月:
疏影横斜近冰栽, 枝枝簪雪映照来. 开为杏色偏芬冽, 幽为菊风冠群茝. 稀世终久非歧寞. 篱香于兹自主开. 纷纷谁解素宜主, 类群甲群天安排. 此诗隐意阐释“类域论”这一现代数学理论,翻译如下： 近冰梅—类域论 (数学译文) 1.域 k 的阿贝尔扩域格{K}(疏影横斜近冰梅),由阿廷映射而与其类群的闭子群格{H}(冰面倒影)之间反向1:1对应. (类域论基本定理) 2. 整体类域论包含局部类域论: 阿廷映射限制到素除子v-分量(枝枝)则为局部映射,自成一系. 3. 局部域乘群 4. 局部单位群Uv (幽维) 映为惯性群. Uv 5. k的希尔波特(希氏)类域定义为k的最大非分歧(终久非歧寞)阿贝尔扩域.(希氏类域) 6. k的理想到希氏类域(篱香于兹)则均化为主理想. (主理想定理) 7. 在希氏类域完全分解的(纷纷谁解),恰为k的素、主(素宜主)理想. (分裂定理) 8. 类群与伽罗华群同构,理论美妙天成. (同构定理) 《近冰梅—类域论》 文学译文: 疏影横斜的寒梅哟----
为何你生长在这, 冰池之畔? 虬枝簪雪又戴花哟----
冰清玉洁的照来, 仙姿翩翩! 有人说你, 不过寻常杏花一般---- 你却偏偏香冽非凡. 你怀着那, 傲霜金菊的格调哟---- 笑冰斗雪众香之冠. 世所罕！ 你铁骨凌寒---- 难道会, 永遭寂寞和歧见？ 纵篱边: 你暗香弗断---- 呕碧血, 一片丹心报春前！ 啊, 报春前, 看缤纷烂漫谁解悟---- 俏妆自然宜素淡, 呀, 宜素淡, 你如常花开天下先---- 应是天意常使然！
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