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Introduction to
Algebra, Number Theory, Fermat's Last Theorem, etc
数论介绍 （H）
数字化时代的先知
---数论
张贤科， 清华大学 数学科学系
面对世界奇迹秦始皇兵马俑的众多方阵,你可以想象当年“扫六合吞八荒”的秦兵的气势.真要点出秦兵确切总数，岂是易事？我国自古有“秦王暗点兵”奇法, 例如:“秦兵列队，每列百人则余一人，九九人则余二人，百零一人则不足二人.问秦兵几何？”----此时秦王就心中有“数”了!（假若他懂一点数论的话. 读者不妨一试.）. 数学王子高斯说过:
“数学是科学的女皇—而数论是数学的女皇”. 此话不虚.
这可能是因为,数论的研究对象特别基本(“自然”数1, 2, 3,..., 和各种数),问题特别神奇,意境特别深远;也是因为,数论在历史上常是推动数学发展的原动力,例如现代数学中域、环、理想等重要理论,都来自数论.随着数字计算机和数字通信为标志的信息时代的到来,数论(以及它关联的离散数学),更显示出空前的重要性.大量数字化信息的传播,处理,储存和应用是知识(数字)经济时代的特征,数论及其关联的数学正是这一切的灵魂,基础和智囊.事实上,早在半个多世纪前的二次世界大战中,盟国集合了一批优秀数论学家,破译德国密码,为二战胜利作出难以估量的贡献.这其中就包括计算机的鼻祖图灵,从而直接导致计算机的发明！数论不仅应用十分广泛,深层(例如从弦的振动,音乐理论,到现代物理,微观粒子等各领域,常发生出人意料的应用), 尤其是它的理论优美深刻,直通向最现代前沿的数学. 实可谓是“立地顶天”的一门学问. 历史上吸引了象高斯, 欧拉, 费尔马, 希尔波特,
阿廷等等无数天才. 数论起源很早,自古至19世纪初的阶段,常称“初等数论”.
这包括上述“秦王暗点兵”，同余式，二次剩余等. 这部分历史久远,
影响人群广泛, 留下了丰富有趣的问题, 例如费尔马大定理, 哥德巴哈猜想等等. 微积分和复变函数论发展以后，应用于数论，产生了“解析数论”，例如L函数等，可解决算术数列中存在无穷个素数等问题.
数论中有些问题必须由解析方法才能提出或解决.我国华罗庚,王元,陈景润等在歌德巴哈,华林等解析数论问题上取得世界领先成就.
随着两个世纪以来, 尤其是本世纪以来数学的巨大发展, 尤其是代数, 代数几何等的巨大发展, 现代的数论已经高度发展融合, 远不只是研究整数了,它还研究代数数,研究代数函数,代数几何中的代数簇,椭圆曲线,模形式,局部域,表示论,超越数等等 (代数数就是代数方程任何可能的根,
不存在时可以创造出来. 超越数是象圆周率π这样的数).
现代数论的方法已是代数,解析,几何的高度综合, 融合着数学最现代的思想和成就.最近,历史难题费尔马大定理被攻克，震惊全世界，标志着数论的鼎盛.（张贤科 撰文）
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