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以下简介怀尔斯的证明历程(参见文[1]引言). 简单地说, 怀尔斯是通过各种伽罗华群的表示来研究椭圆曲线的:
由"模3表示 是模的"出发, 证明"其适当提升 是模的", 从而证出椭圆曲线是模的.
1986年晚夏，怀尔斯闻知瑞拜特的工作后立刻动手.
一连几年他都工作于伊瓦萨瓦(Iwasawa)关于全实域的猜想及其应用.
使用和发展了希尔波特模形式的p-进表示. 研究2-进表示数月后，他得到第一个突破，认识到应代之而研究3-进表示，这样一开始就可以借助于朗兰兹--坍奈尔(Tunnel)定理而知模3表示 是模的. 再尝试归纳证明模 表示是模的, 这迅速引导至 的伽罗华群的1和2阶上同调群的研究,及与数域的相应上同调群比较.他发展伊瓦萨瓦的 -扩张的理论到基于素数无限系列 .
在1980年代末，他转到环论语言. 迈组尔(Mazur)在研究海达(Hida)的伽罗华表示族时,意识到他引入的万有变形环应当来自亥克(Hecke)环，这个关键的猜想加强了原先的猜测:一个模表示的所有普通提升都应是模的.
怀尔斯意识到他需要亥克环是完全交这一很强条件, 需要知道伊瓦萨瓦不同域的亥克环间的确切关系.
对这点也是对全部证明的转折点是在1991年春. 他由提楼因(T.Tilouine)1988年的论文悟知， -和 -两个不变量在现情形下是相等的,而这一相等构成了高壬斯坦环（从而亥克环）为完全交的判则(见怀文附录).
这对于主要问题的冲击是巨大的. 首先,由此可检验亥克环与变形环的关系,引至证明:只要限制分歧提升是模的则所有提升都是模的（第二章第三节）, 这是曾经长期尝试未能成功的.其次，主要问题可转化为伊瓦萨瓦理论中为人熟知的某种类数问题（第四章）.再者，这意味着可首次证明无限多椭圆曲线(类)是模的.最后,这意味着可集中注意力于最小基准(level)情形. 在由伊瓦萨瓦理论的类数问题攻击主要问题时, 怀尔斯引入辅助素数q -1(mod p), 用以取代基域的改变.主要困难是不知如何估计 -不变量跟随的改变.不过只要知道最小亥克环是完全交,此法确能给出广义类群(即常说的塞莫(Selmer)群)的正确上界.他"搜寻钥匙而未能成功".
到了1991年8月, 怀尔斯看到夫拉克(Flach)刚刚作出的新构作,并迅速相信此方法的推广将比他原来的环论方法更为有效.
夫拉克的方法似是向构作一个欧拉系统的第一步，如果成功将给出塞莫群大小的确切上界. 至1992年秋，怀尔斯相信他已完成了这些.他开始转向余下的情况，即模3表示 可约的情况.
数月之中只是试图简单重复变形环和亥克环的方法. 出乎意料地在1993年5月,在读到迈组尔模曲线扭曲形一文时，怀尔斯得到关键的令人吃惊的突破：他发现了用有共同5-表示的椭圆曲线族的方法(见怀文第五章). 此时他相信全部证明已经完成，便在6月21--23日在剑桥作了三次报告，概述了这整个理论. 但是到1993年秋,怀尔斯已经逐渐明白，用于推广夫拉克方法的欧拉系统的构作是不完全的，可能有瑕疵.
达尔蒙(H.
Darmon)在1994年2月鼓励怀尔斯解释他原来的归结到完全交性的推理.当在普林斯顿作此报告的时候，怀尔斯几乎是无意识地确是关键性地转向现第三章使用的特殊辅助素数.此前他一直对1991年弃置一边的原来的方法未作任何考虑，因为它仍然相信欧拉系统的途径是正确的.
另一方面, 从1994年1月起泰勒加入到与怀尔斯一起试图修复欧拉系统. 到1994年春，由于在修复欧拉系统法中受挫，怀尔斯开始与泰勒一起试图设计新的用p=2的方法. 用p=2的试图到八月底陷入绝境.
“当泰勒仍然不相信欧拉系统法无可挽回的时候，我在九月决定再最后看一眼我的推广夫拉克的想法，至少若能更明显地廓清障碍也好.
在做此事时，我突然之间得到神奇的启示: 我在1994年9月19日的思维闪电中看到，沙利特的理论若被推广,可与对偶性一起用于在适当辅助水平上,把亥克环粘合成幂级数环. 我已经意外地找到了开通我那老的废弃途径的迷失的钥匙. 是一个古老的想法使我达成极限过程:
取 且 和 趋于无限. 第三章的转向特殊素数使这一切成为可能.
“在我将此论述告知泰勒后，我们在接下来的几天里核实细节.
全部论述，连同归结到完全交性的推导，写入文[2].
“总而言之，整个证明的关键突破在1991年春，即意识到附录中引入的那两种不变量可被用于联系变形环和亥克环. 事实上，-不变量可被用于计算伽罗华表示个数. 而在1993年6月宣布之后的那最后一步，虽然是难以捕捉的，却只不过是一个长进程的结果，进程的目的是在环论的框架内把基于伊瓦萨瓦理论的方法换为基于使用辅助素数的方法.
“有一个改进我未写入论文，它也许可用于简化第二章的部分内容，就是棱斯殊阿注意到判断高壬斯坦环为完全交的判则可被推广到更一般的有限且 -自由的环. 伐尔廷斯指出的一个改进也未写入，可简化第三章和文[2]的论证，不过这在文[2]附录中有解释."
全文的目录如下.
第一章. 1.伽罗华表示的变形，2.上同调群的计算，3. GL_2(k) 的子群结果
第二章. 1.高壬斯坦性质，2.亥克环间的同余，3.主猜想
第三章. 塞莫群的估计.
第四章. 1.普通CM情形,
2. 的计算.
第五章. 到椭圆曲线的应用
附录
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